Πραγματικά αέρια

Οι εφαρμογές αυτές διερευνούν τις καταστατικές εξισώσεις των τέλειων αερίων, ξεκινώντας με την εξίσωση van der Waals και συνεχίζοντας με την καταστατική εξίσωση virial. Διερευνούν επίσης την εξάρτηση του παράγοντα συμπιεστότητας από τις συνθήκες.

Η πίεση ενός αερίου van der Waals δίνεται από την:

$$ p = \frac{nRT}{V-nb}-a\frac{n^2}{V^2}, \hskip 5pt p_0= \frac{nRT}{V}$$

όπου $R$ είναι η σταθερά των αερίων (8,31447 J K-1 mol-1), $V$ είναι ο όγκος (σε m3), $T$ είναι η θερμοκρασία (σε K), $n$ είναι η ποσότητα ουσίας (σε mol), τα $a$ και $b$ είναι παράμετροι της εξίσωσης, $p$ είναι η υπολογιζόμενη πίεση (σε Pa), και $p_0$ η πίεση που προβλέπεται από το νόμο των τέλειων αερίων.

Για να υπολογίσετε την πίεση ενός αερίου van der Waals, εισαγάγετε τις αντίστοιχες τιμές στην καρτέλα Eq. 1 και πατήστε OK.

Εναλλακτικά, μπορεί να ζητείται ο όγκος που καταλαμβάνει ένα αέριο van der Waals, $V_{\hskip .7pt \rm vanderWaals}$, όταν υπόκειται σε ορισμένη πίεση, ο οποίος προκύπτει από τη ρίζα της:

$$\frac{nRT}{V-nb}-a\frac{n^2}{V^2} -p $$

με $ V_0=\frac{nRT}{p}$ και $ Z=\frac{V_{\hskip .7pt \rm vanderWaals}}{V_0}$, όπου $V_0$ είναι ο όγκος που καταλαμβάνει ένα τέλειο αέριο υπό τις ίδιες συνθήκες και $Z$ είναι ο παράγοντας συμπιεστότητας. Επιλέξτε την καρτέλα Eq. 2 για να υπολογίσετε τιμές για τα $V_{\hskip .7pt \rm vanderWaals}$, $V_0$ και $Z$.

Έπειτα, υπολογίζουμε τις ισόθερμες για μια ποικιλία θερμοκρασιών. Σημειώστε ότι υπάρχουν δύο γραφικές παραστάσεις: αυτή που προκύπτει από άμεσο υπολογισμό και αυτή από έναν υπολογισμό συναρτήσει των ανηγμένων μεταβλητών. Ο άμεσος υπολογισμός δίνεται από την:

$$ V({\scriptscriptstyle V}) = \frac{{\scriptscriptstyle V} V_{\max}}{100}$$ $$ p(t,{\scriptscriptstyle V}) = \frac{nR(t {\rm K})}{V({\scriptscriptstyle V})-nb} - a\frac{n^2}{V({\scriptscriptstyle V})^2}$$

όπου $V_{\rm max}$ είναι ο μέγιστος όγκος (σε m3).

Για να παραστήσετε γραφικά αυτή την εξίσωση επιλέξτε την καρτέλα Plot, εισαγάγετε τις τιμές των παραμέτρων και πατήστε New Plot. Μπορούν να εμφανίζονται έως και 5 γραφικές παραστάσεις ταυτόχρονα. Το κουμπί Clear διαγράφει όλες τις γραφικές παραστάσεις. Για να δείτε τις τιμές των παραμέτρων σε κάθε γραφική παράσταση πατήστε το κουμπί Legend on/off. Με το κουμπί Redraw επανασχεδιάζεται η γραφική παράσταση, κάτι χρήσιμο όταν θέλετε να αλλάξετε το εύρος τιμών της μεταβλητής της συνάρτησης. Για να δείτε τις τιμές των μεταβλητών σε ένα σημείο της γραφικής παράστασης, μετακινήστε το δείκτη στο σημείο που θέλετε και έπειτα πατήστε και κρατήστε.

Η έκφραση van der Waals είναι πιο αποκαλυπτική στην "ανηγμένη" μορφή της, συναρτήσει των ανηγμένων μεταβλητών $p_{\rm r} = p / p_{\rm c}$, $V_{\rm r} = V_{\rm m} / V_{\rm c}$, $T_{\rm r} = T / T_{\rm c}$.

$$ p_{\rm r}(T_{\rm r}, V_{\rm r}) = \frac{8T_{\rm r}}{3V_{\rm r} -1} -\frac{3}{V_{\rm r}^2}$$

Για να παραστήσετε γραφικά αυτή την εξίσωση επιλέξτε την καρτέλα Reduced Plot. Για να σχεδιάσετε την επιφάνεια των καταστάσεων, η οποία δείχνει τις επιτρεπτές καταστάσεις ενός αερίου van der Waals, επιλέξτε την καρτέλα Reduced Surface. Η γραφική παράσταση της επιφάνειας μπορεί να περιστραφεί σύροντας το ποντίκι.

Ο παράγοντας συμπιεστότητας, $Z$, είναι

$$ Z(V_{\rm r}, T_{\rm r}) = \frac{3}{8} \left(\frac{8V_{\rm r}}{3V_{\rm r} -1} -\frac{3}{T_{\rm r}V_{\rm r}}\right) $$

Για να παραστήσετε γραφικά αυτή την εξίσωση επιλέξτε την καρτέλα Compression Plot.



Στην επόμενη εφαρμογή, διερευνούμε κάποιες ιδιότητες της καταστατικής εξίσωσης virial.

Η πίεση που ασκείται από ένα αέριο είναι:

$$ p = \frac{nRT}{V} \left(1+\frac{nB}{V} +\frac{n^2C}{V^2} \right), \hskip 5pt p_0 = \frac{nRT}{V}$$

όπου τα $B$ (cm3 mol-1) και $C$ (cm6 mol-2) είναι ο δεύτερος και ο τρίτος συντελεστής virial, αντίστοιχα.

Για να υπολογίσετε την πίεση, εισαγάγετε τις αντίστοιχες τιμές στην καρτέλα Virial eq. 1 και πατήστε OK.

Εναλλακτικά, μπορούμε να βρούμε τον όγκο, $V_{\rm virial}$, που καταλαμβάνει το αέριο από τη ρίζα της:

$$\frac{nRT}{V} \left(1+\frac{nB}{V} +\frac{n^2C}{V^2} \right) -p$$

με $V_0 = \frac{nRT}{p}$, όπου $V_0$ είναι ο όγκος που καταλαμβάνει ένα τέλειο αέριο υπό τις ίδιες συνθήκες και $Z$ είναι ο παράγοντας συμπιεστότητας. Επιλέξτε την καρτέλα Virial eq. 2 για να υπολογίσετε τιμές των $V_{\rm virial}$, $V_0$ και $Z$.

Η καταστατική εξίσωση virial είναι:

$$ V({\scriptscriptstyle V}) = \frac{{\scriptscriptstyle V}V_{\rm max}}{100}$$ $$p({\scriptscriptstyle V}) = \frac{nRT}{V({\scriptscriptstyle V})} \left( 1+\frac{nB}{V({\scriptscriptstyle V})}+ \frac{n^2C}{V({\scriptscriptstyle V})^2} \right)$$

Επιλέξτε την καρτέλα Virial Plot για να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση. Για σύγκριση, συμπεριλαμβάνεται η γραφική παράσταση του $p_0$.

Ο παράγοντας συμπιεστότητας, $Z$, υπολογίζεται ως εξής:

$$Z({\scriptscriptstyle V}) = 1+\frac{nB}{V({\scriptscriptstyle V})}+\frac{n^2C}{V({\scriptscriptstyle V})^2}$$

Επιλέξτε την καρτέλα Virial compression Plot για να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση.