Υπέρθεση κυματομορφών

Η κυματοσυνάρτηση ενός σωματιδίου του οποίου η θέση δεν είναι καθορισμένη μπορεί να θεωρηθεί ως άθροισμα (υπέρθεση) αρκετών κυματοσυναρτήσεων διαφορετικού μήκους κύματος οι οποίες συμβάλλουν ενισχυτικά σε κάποια περιοχή και αναιρετικά αλλού. Καθώς όλο και περισσότερα κύματα χρησιμοποιούνται στην υπέρθεση, η θέση καθορίζεται περισσότερο εις βάρος της αβεβαιότητας στην ορμή του σωματιδίου. Για να κατασκευαστεί η κυματοσυνάρτηση ενός πλήρως εντοπισμένου σωματιδίου απαιτείται άπειρος αριθμός κυμάτων. Η κυματοσυνάρτηση δίνεται από την

$$\psi(N,x) = \sum_{k=1}^{N} \cos (kx\pi)\frac{1}{N}$$

όπου $N$ είναι ο αριθμός των κυμάτων που αθροίζονται, το $x$ είναι σε m, και το $k$ σε m-1. Η σταθερά $1 / N$ εισάγεται ώστε οι υπερθέσεις να έχουν την ίδια συνολική τιμή.

Για να παραστήσετε γραφικά την κυματοσυνάρτηση, εισαγάγετε την τιμή της παραμέτρου (της $N$), και πατήστε New Plot. Μπορούν να εμφανίζονται έως και 5 γραφικές παραστάσεις ταυτόχρονα. Το κουμπί Clear διαγράφει όλες τις γραφικές παραστάσεις. Για να δείτε τις τιμές των παραμέτρων σε κάθε γραφική παράσταση πατήστε το κουμπί Legend on/off. Με το κουμπί Redraw επανασχεδιάζεται η γραφική παράσταση, κάτι χρήσιμο όταν θέλετε να αλλάξετε το εύρος των τιμών της μεταβλητής της συνάρτησης. Για να δείτε τις τιμές των μεταβλητών σε ένα σημείο της γραφικής παράστασης, μετακινήστε το δείκτη στο σημείο που θέλετε και έπειτα πατήστε και κρατήστε. Μπορείτε να μεταβείτε σε γραφική παράσταση του τετραγώνου της κυματοσυνάρτησης πατώντας το κουμπί κάτω δεξιά.

Ένα κυματοπακέτο μετατοπίζεται και εξαπλώνεται με την πάροδο του χρόνου. Για να εξετάσουμε αυτό το φαινόμενο πρέπει να κατασκευάσουμε μια υπέρθεση στην οποία όλες οι συνιστώσες αντιστοιχούν σε κίνηση στην ίδια κατεύθυνση. Για το σκοπό αυτό χρειαζόμαστε μια μιγαδική κυματοσυνάρτηση:

$$ \psi(N,x) = \sum_{k=1}^{N} \exp(ikx)\frac{1}{N} $$

Επιπλέον, χρειαζόμαστε επίσης τη χρονεξαρτημένη μορφή: $$ \Psi (N, x, t) = \sum_{k=1}^{N} \exp (ikx\pi-ak^2it\pi) \frac{1}{N} $$

όπου $a = \hbar/2m$, και $m$ η μάζα.

Το πραγματικό μέρος αυτής της κυματοσυνάρτησης είναι: $$\Psi_{\rm re} (N,x,t) = \frac{1}{N} \sum_{k=1}^{N} \cos(kx\pi-ak^2t\pi)$$

όπου το $t$ είναι σε s, και το $a$ σε m2 s-1.

Για να δείτε την εξέλιξη αυτής της εξίσωσης με το χρόνο επιλέξτε την καρτέλα Animation, έπειτα δημιουργήστε τη γραφική παράσταση μιας κυματοσυνάρτησης και πατήστε το κουμπί Start/Stop. Το πεδίο Time step μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να αλλάξει το χρονικό βήμα.